M1115 - Lineární algebra a geometrie 1

2.semestr, jaro 2012

Přednášející: prof. RNDr. Josef Janyška, DSc.
Cvičící: RNDr. Pavel Horák
Korekce: Saša
Skripta můžete nalézt zde
Program cvičení zde

Úloha č. 1 - 5.1.B6b

Soustava lineárních rovnic s parametrem na procvičení elementárních řádkových úprav aplikovaných na rozšířenou matici soustavy.
Podstatné je si uvědomit, jak volba parametru může ovlivnit řešitelnost soustavy a ve vhodnou chvíli tak řešení rozdělit na více případů.
Řešení můžete stáhnout zde:

Úloha č. 2 - 3.4.B20

Důkazová úloha, kde chceme dokázat, zda bázové vektory dvou podprostorů tvoří bázi celého prostoru, který je jejich přímým součtem.
Je potřeba znalost definice báze, tedy i pojmů lineární nezávislost vektorů a podprostoru generovaného vektory.
V případě důkazu větou 4.3. je potřeba znalost i této věty, dále dimenze prostoru a věty 4.5. O dimenzi součtu a průniku dvou podprostorů.
V řešení jsou tedy uvedeny tři možné způsoby, jak tento důkaz provést. Nejkratší je asi třetí, ale nejpřímější asi první.
Řešení můžete stáhnout zde:

Úloha č. 3 - 4.4.B17f

Hledání báze a dimenze dvou podprostorů, jejich součtu a průniku, jsou-li tyto podprostory zadány pomocí generátorů.
U jednotlivých podprostorů jen dáme generátory do řádků matice, kterou upravíme do schodovitého tvaru.
Bázové vektory pak tvoří nenulové řádky této matice, dimenze je počet těchto vektorů.
U jejich součtu dáme do matice bázové vektory jednotlivých podprostorů.
U průniku využijeme toho, že každý vektor z něj lze vyjádřit jako lineární kombinaci bázových vektrorů z jednoho či druhého.
Tím získáme soustavu lineárních rovnic, kterou stačí vyřešit.
Řešení můžete stáhnout zde:

Úloha č. 4 - 6.1.B13

Důkaz lineární nezávislosti dvou posloupností vektorů, které mají mezi sebou jistý zajímavý vztah přes skalární součin.
Je potřeba znát dokazování lineární nezávislosti vektorů a skalární součin.
Inpirací může být důkaz provedený u věty 2.2.
Řešení můžete stáhnout zde:

Úloha č. 5 - 7.1.B12

Důkaz tvrzení tvaru ekvivalence pro injektivní lineární zobrazení mezi lineární nezávislostí vektorů a jejich obrazů.
Je potřeba znalost definice lineárního zobrazení, zejména pak rozšířené podmínky 3, a věty 1.1.
Řešení můžete stáhnout zde: